Matemáticas · 8.º · Factorización
¿Cómo factorizar por factor común y diferencia de cuadrados?
¿Cómo factorizar por factor común y diferencia de cuadrados?
Factorizar un polinomio significa escribirlo como un producto equivalente. Busca primero un factor común y después reconoce estructuras como la diferencia de cuadrados.
Producto y suma pueden representar lo mismo
La propiedad distributiva dice 3(x + 2) = 3x + 6. Factorizar recorre esa igualdad en sentido inverso: 3x + 6 = 3(x + 2). No es resolver una ecuación ni eliminar términos. Conservas el valor de la expresión para toda variable admisible.
Encontrar el factor común completo
En 6x² + 9x, ambos términos contienen 3x. Al dividir cada uno por ese factor obtienes 3x(2x + 3). Es una identidad polinómica, válida también en x = 0; no estás dividiendo una ecuación por x. Comprueba distribuyendo 3x en ambos términos.
Diferencia de cuadrados
El producto (a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b². Los términos intermedios se cancelan. Por eso x² − 16 = (x + 4)(x − 4). Deben ser cuadrados separados por una resta; x² + 16 no usa esta identidad en los reales.
Un área ayuda a interpretar
Un cuadrado de lado x tiene área x². Quita uno de lado cuatro: queda x² − 16. Para x ≥ 4, reorganizar la región restante permite formar un rectángulo de lados x + 4 y x − 4. El dibujo explica el producto; la identidad algebraica sigue siendo válida para cualquier x real.
Combinar pasos sin perder factores
En 2x² − 18, extrae primero dos: 2(x² − 9). Después aplica diferencia de cuadrados: 2(x + 3)(x − 3). Omitir el dos cambia todos los valores de la expresión. Multiplicar los factores al final es una comprobación independiente.
Factorizar para resolver exige una ecuación
Si (x + 3)(x − 3) = 0, la propiedad del producto nulo da x = −3 o x = 3. Pero la expresión factorizada sola no impone que valga cero. Tampoco todos los polinomios se factorizan en factores lineales reales: x² + 1 no tiene ceros reales.