Matemáticas · 8.º · Reales: racionales e irracionales
¿Cómo convertir fracciones a decimales y decimales periódicos a fracciones?
¿Cómo convertir fracciones a decimales y decimales periódicos a fracciones?
Para convertir una fracción a decimal, divide numerador entre denominador. Para convertir un decimal periódico a fracción, resta dos expresiones de ese decimal escaladas para cancelar la parte repetida.
Fracción y decimal nombran una cantidad
La fracción a/b, con b ≠ 0, representa a ÷ b. Así, 3/8 = 0,375 y 2/3 = 0,666…, donde el seis se repite sin terminar. En una división de enteros hay un número finito de restos posibles: si no aparece resto cero, algún resto se repite y el desarrollo se vuelve periódico.
Los decimales que terminan
0,375 son 375 milésimos: 375/1000 = 3/8. Para un decimal finito, escribe las cifras sin coma sobre 10, 100 o 1000, según sus posiciones, y simplifica. Una fracción irreducible tiene decimal finito exactamente cuando su denominador contiene solo factores primos 2 y 5; las potencias de diez están formadas por esos factores.
Un período que empieza de inmediato
Sea x = 0,272727… El período tiene dos cifras, así que 100x = 27,272727… Resta las igualdades: 100x − x = 27 y las colas decimales se cancelan. Entonces 99x = 27 y x = 27/99 = 3/11. Los nueves aparecen porque 100 − 1 = 99.
Un período con una cifra inicial diferente
Sea x = 0,16666… Primero 10x = 1,6666… y después 100x = 16,6666… Resta estas últimas: 90x = 15. Por tanto x = 15/90 = 1/6. Las dos expresiones deben tener la misma cola periódica; restar 10x − x no la alinearía.
La barra y los puntos tienen significado
0,27 es el decimal finito 27/100. 0,272727… es otro número: 3/11. Indica qué bloque se repite, usando puntos y una explicación o una barra sobre el período. 0,333 no es exactamente 1/3; es una aproximación a milésimos. No uses una fórmula de periódicos si solo tienes un redondeo.
Comprobar y reconocer el tipo de número
Comprueba la fracción obtenida con una división. 1/6 produce 0,1666… y 3/11 produce 0,2727… Todos los decimales finitos y periódicos son racionales. Un decimal infinito que no se vuelve periódico es irracional; no todo decimal infinito representa una fracción.