Matemáticas · 7.º · Proporcionalidad directa e inversa
¿Cómo distinguir proporcionalidad directa e inversa?
¿Cómo distinguir proporcionalidad directa e inversa?
Una proporción directa mantiene constante el cociente y/x; una inversa mantiene constante el producto xy. Ver que dos cantidades suben juntas o en sentidos contrarios no basta para demostrar proporcionalidad.
Directa: conservar una tasa
Con un precio fijo de tres fichas por cuaderno, uno cuesta tres, dos cuestan seis y cuatro cuestan doce. Para x cuadernos y costo y, y/x = 3, cuando x > 0. El modelo y = 3x conserva la tasa unitaria y pasa por el origen si no existe cargo fijo.
Inversa: conservar un total
Para un trabajo fijo y repartible, con máquinas iguales de ritmo constante, dos máquinas tardan doce horas y cuatro tardan seis. El producto máquinas × horas = 24 se conserva. El modelo es y = 24/x, con x positivo. Duplicar x reduce y a la mitad.
Una tabla revela qué comprobar
En las parejas (2, 6), (4, 12) y (5, 15), los cocientes y/x son tres: relación directa. En (2, 12), (4, 6) y (6, 4), los productos xy son veinticuatro: inversa. No compares filas usando unidades distintas ni confundas cociente con diferencia.
Subir juntos no garantiza relación directa
Una tarifa de cinco fichas de inicio más dos por kilómetro cumple y = 5 + 2x. Al aumentar kilómetros, aumenta el costo, pero y/x cambia. Dos kilómetros cuestan nueve y cuatro cuestan trece, no dieciocho. Es una relación lineal con cargo fijo, no una proporción directa.
Disminuir tampoco garantiza relación inversa
Si y = 10 − x, las parejas (2, 8), (3, 7) y (4, 6) tienen productos 16, 21 y 24. Aunque y disminuye, el producto no se conserva. La relación inversa proporcional exige una constante k en y = k/x. Las gráficas de y = kx y y = k/x tienen formas diferentes.
Elegir el modelo antes de calcular
Pregúntate qué permanece fijo: precio unitario, cantidad total de trabajo o alguna otra condición. Calcula la constante con los datos y comprueba otra pareja. Un resultado razonable debe respetar esa constante. En situaciones reales con cambios de tasa o restricciones, explica por qué una regla de tres puede no representar el fenómeno.