Matemáticas · 9.º · La parábola
¿Cómo distinguir una función lineal de una cuadrática?
¿Cómo distinguir una función lineal de una cuadrática?
Una función afín tiene forma f(x) = mx + b y cambio constante por intervalos iguales. Una cuadrática tiene forma f(x) = ax² + bx + c, con a ≠ 0, y su gráfica es una parábola.
Declarar la convención de lineal
Algunos cursos llaman «lineal» a cualquier función mx + b. En una convención más estricta, lineal es mx y afín es mx + b. Aquí usaremos afín para toda recta de esa forma y señalaremos que incluye el caso b = 0. La diferencia con cuadrática no depende de esa elección de nombre.
Revisar el mayor exponente
f(x) = 3x + 2 es afín. g(x) = 2x² − x + 1 es cuadrática porque su término de grado dos tiene coeficiente no nulo. En h(x) = 0x² + 3x + 2, el cuadrado desaparece: h no es cuadrática. Simplifica antes de decidir el grado.
Cambio constante en una tabla
Para f(x) = 3x + 2 y x = 0, 1, 2, 3, las salidas son 2, 5, 8, 11: aumentan tres cada vez. Para g(x) = x², son 0, 1, 4, 9: las diferencias son 1, 3, 5. Las entradas deben avanzar en intervalos iguales para comparar este patrón.
Segundas diferencias de una cuadrática
En la tabla de x², las primeras diferencias 1, 3, 5 tienen diferencias entre sí de 2 y 2. Para ax² + bx + c con paso h constante, la segunda diferencia es 2ah². Este patrón sirve para comparar modelos polinómicos, pero una tabla finita por sí sola no prueba una fórmula para todo x.
Recta frente a parábola
Una función afín de pendiente no nula crece o decrece siempre a la misma tasa. Una cuadrática tiene eje de simetría y un vértice: cambia su dirección de variación allí. Si a > 0, abre hacia arriba y tiene mínimo; si a < 0, abre hacia abajo y tiene máximo.
Elegir un modelo según la relación
El perímetro de un cuadrado de lado x es P = 4x: relación lineal. Su área es A = x²: relación cuadrática. Si duplicas el lado, duplicas el perímetro y multiplicas por cuatro el área. El contexto puede restringir x a longitudes positivas, aunque las fórmulas algebraicas admitan más entradas.