Matemáticas · 6.º · Fracciones nivel bachillerato
¿Cómo dividir fracciones y por qué se invierte la segunda?
¿Cómo dividir fracciones y por qué se invierte la segunda?
Dividir por una fracción no nula equivale a multiplicar por su recíproco. Invertir la segunda fracción funciona porque su producto con el recíproco es uno.
La división pregunta cuántas veces cabe
Dividir compara una cantidad con una unidad de referencia y determina su cociente. En 3/4 ÷ 1/8 buscas cuántas porciones de un octavo caben en tres cuartos. Como 3/4 = 6/8, caben seis. El cociente puede superar la cantidad inicial porque las porciones son menores que una unidad. Este resultado no es una suma: expresa el número de unidades del tamaño indicado.
Verlo en la misma barra
Parte un metro en ocho segmentos iguales y marca seis. Esa longitud es 3/4 de metro. Si cada porción mide 1/8 de metro, cuentas seis porciones. Si cada porción mide 1/4 de metro, cada grupo usa dos segmentos y cuentas tres. La cantidad inicial se mantiene; cambia el tamaño de la unidad que cuentas.
Por qué aparece el recíproco
El recíproco de c/d es d/c, cuando c y d son distintos de cero. Su producto es uno: (c/d) × (d/c) = 1. Si q × (c/d) = a/b, multiplica ambos miembros por d/c. Queda q × 1 = (a/b) × (d/c). Por tanto (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c). Se invierte el divisor, que es la segunda fracción.
Un ejemplo que no da un entero
Calcula 3/4 ÷ 2/5. Mantén la primera fracción y usa el recíproco de la segunda: (3/4) × (5/2) = 15/8 = 1 y 7/8. Comprueba multiplicando el cociente por el divisor: (15/8) × (2/5) = 30/40 = 3/4. El cociente puede ser una fracción; no siempre representa un número entero de porciones completas.
Dos confusiones frecuentes
Para dividir 2/3 entre 4, escribe 4 = 4/1. Su recíproco es 1/4, de modo que (2/3) × (1/4) = 1/6. No inviertas la primera fracción. La forma ad/(bc) para (a/b) ÷ (c/d) puede parecer un producto cruzado, pero se obtiene del recíproco; no es la regla de suma ni la comprobación de una proporción. El divisor c/d debe ser no nulo.
Aplicarlo y comprobar la unidad
Hay 5/6 de litro de jugo y cada vaso completo recibe 1/3 de litro. El cociente es (5/6) × 3 = 5/2 = 2,5. Puedes llenar dos vasos completos y medio vaso; si solo cuentas vasos completos, son dos y quedan 1/6 de litro. Interpretar el resultado requiere volver a la pregunta del contexto.