Matemáticas · 10.º · Funciones: el catálogo
¿Cómo encontrar el dominio y el rango de una función?
¿Cómo encontrar el dominio y el rango de una función?
El dominio reúne las entradas permitidas y el rango las salidas que la función alcanza. Revisa denominadores, raíces y condiciones del contexto; luego analiza qué valores puede producir la expresión.
Entrada, salida y codominio
El dominio especifica el conjunto de entradas para las que una función está definida y asigna una única imagen. El rango o imagen reúne las salidas efectivamente alcanzadas; el codominio declara un conjunto de destino que las contiene. En f(x) = x², con dominio y codominio reales, la imagen es [0, ∞). Diferenciar estos tres conjuntos evita atribuir a una función valores que su expresión y restricciones no producen.
Excluir denominadores nulos
Para f(x) = 1/(x − 2), el dominio es ℝ excepto 2. El rango es ℝ excepto cero: ninguna fracción de numerador uno vale cero. Cualquier y ≠ 0 sí se alcanza con x = 2 + 1/y. Esta última comprobación demuestra que no faltan otras salidas.
Raíces en números reales
Para g(x) = √(x − 3), exige x − 3 ≥ 0. El dominio es [3, ∞) y el rango [0, ∞). La raíz principal es no negativa. Si la raíz aparece en un denominador, como 1/√(x − 3), también debes excluir el radicando cero: x > 3.
El vértice ayuda a encontrar el rango
h(x) = (x − 1)² + 4 tiene dominio real. Como el cuadrado es no negativo, h(x) ≥ 4, y alcanza cuatro en x = 1. Además, para cualquier y ≥ 4 existe x = 1 + √(y − 4). Por tanto su rango es [4, ∞).
El contexto puede restringir más
Si A(x) = x² representa un cuadrado de lado x entre uno y tres metros, el dominio del modelo es [1, 3] y el rango [1, 9] en metros cuadrados. No uses todo ℝ solo porque la fórmula admite números negativos: las condiciones declaradas forman parte de la función.
Leer una gráfica con extremos claros
La proyección horizontal de una gráfica representa el dominio y la vertical representa su imagen. Examina extremos abiertos, cerrados y continuidad del trazado, sin confundir el recorte de una pantalla con una restricción matemática. Una discontinuidad puntual puede excluir una entrada sin eliminar su salida cuando otro punto la alcanza. Para demostrar el rango algebraicamente, caracteriza las soluciones de f(x) = y y verifica que existan entradas admisibles para cada salida propuesta.