Matemáticas · 9.º · Progresiones
¿Cómo encontrar el término general de una sucesión aritmética?
¿Cómo encontrar el término general de una sucesión aritmética?
En una sucesión aritmética, cada término aumenta o disminuye en una diferencia constante d. Si el primero es a₁ y las posiciones comienzan en uno, el término n es aₙ = a₁ + (n − 1)d.
Comprobar diferencias consecutivas
En 5, 8, 11, 14, cada término menos el anterior da tres. La diferencia constante es d = 3. En 12, 8, 4, 0, es −4. Una sucesión aritmética puede crecer, decrecer o permanecer constante; no se define por multiplicar siempre por el mismo factor.
Contar saltos desde el primer término
Para llegar desde la posición uno hasta la cinco se hacen cuatro saltos, no cinco. Si empiezas en cinco y cada salto añade tres, a₅ = 5 + 4 × 3 = 17. El número de saltos hasta la posición n es n − 1.
Construir la fórmula general
Repetir n − 1 veces la diferencia da aₙ = a₁ + (n − 1)d, para n entero positivo. En 5, 8, 11… queda aₙ = 5 + 3(n − 1) = 3n + 2. Comprueba n = 1: ambas formas devuelven cinco.
Encontrar una posición
En esa sucesión, ¿en qué posición está 32? Resuelve 3n + 2 = 32: n = 10. Si buscas 33, obtienes n = 31/3, que no es entero. Por tanto treinta y tres no pertenece a la sucesión; una solución real de la ecuación no basta como posición.
Leer el índice inicial declarado
Algunas sucesiones se numeran desde cero. Si a₀ = 5 y d = 3, entonces aₙ = 5 + 3n. No contradice la otra fórmula: cambia la posición inicial. Declara si empiezas en cero o en uno antes de interpretar el término décimo o sustituir un índice.
Un patrón observado necesita una hipótesis
2, 4, 8, 16 no es aritmética: sus diferencias son 2, 4 y 8. Además, unos pocos términos no prueban cómo continúa una sucesión infinita. Usa la fórmula aritmética cuando el problema afirma diferencia constante o cuando el contexto justifica ese modelo; evita presentarla como única continuación de cualquier lista.