Matemáticas · 9.º · La parábola
¿Cómo hallar el vértice de una parábola?
¿Cómo hallar el vértice de una parábola?
El vértice de y = ax² + bx + c, con a ≠ 0, tiene coordenada x = −b/(2a). Sustituye ese valor para hallar y. Es un mínimo si a es positivo y un máximo si a es negativo.
Un punto que organiza la parábola
El vértice de una función cuadrática determina el eje de simetría y la transición entre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Su ordenada constituye el valor extremo de la función en el dominio real, mientras que su abscisa indica dónde se alcanza. No coincide necesariamente con una intersección de los ejes. En y = (x − 2)² + 1, la expresión cuadrática alcanza su mínimo cuando x = 2: el vértice es (2, 1).
Leer la forma de vértice
En y = a(x − h)² + k, el vértice es (h, k). En y = −3(x + 4)² + 7, escribe x + 4 como x − (−4): el vértice es (−4, 7). El signo dentro del paréntesis se interpreta al buscar dónde ese factor vale cero.
Por qué aparece −b entre 2a
Completar el cuadrado da ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). El término cuadrado se anula en x = −b/(2a). Por eso esa es la coordenada horizontal del vértice y el eje de simetría; no hace falta memorizarla sin explicación.
Calcular las dos coordenadas
En y = 2x² − 8x + 3, a = 2 y b = −8. Entonces xᵥ = 8/4 = 2. Sustituye: yᵥ = 2(2²) − 8(2) + 3 = −5. El vértice es (2, −5), no solo dos.
Mínimo o máximo
Como a = 2 > 0, la parábola anterior abre hacia arriba y −5 es su mínimo global en dominio real. En y = −x² + 6x − 1, el vértice es (3, 8) y es máximo. Un dominio contextual recortado puede excluir el vértice: entonces revisa también los extremos permitidos.
Una comprobación de simetría
La simetría respecto de x = 2 implica igualdad de imágenes para entradas equidistantes de ese eje. En 2x² − 8x + 3, las abscisas uno y tres producen ambas −3; cero y cuatro producen tres. Estas comprobaciones respaldan la interpretación geométrica del vértice. El punto (0, 3) corresponde a la intersección vertical y no al mínimo, por lo que distinguir coordenadas y propiedades evita clasificaciones incorrectas.