Matemáticas · 9.º · Sistemas de ecuaciones 2x2
¿Cómo reconocer un sistema sin solución o con infinitas soluciones?
¿Cómo reconocer un sistema sin solución o con infinitas soluciones?
Un sistema de dos ecuaciones lineales puede tener una solución, ninguna o infinitas. En el plano corresponden a rectas que se cruzan, paralelas distintas o coincidentes, respectivamente.
Una solución debe cumplir ambas ecuaciones
Una solución del sistema es un par (x, y) que satisface simultáneamente las dos ecuaciones. No basta con resolver cada una por separado. Para y = x + 1 e y = −x + 3, igualar expresiones da x = 1 e y = 2: las rectas se cruzan en (1, 2).
Paralelas distintas: ninguna solución
En y = 2x + 1 e y = 2x + 4, las pendientes coinciden, pero los cortes verticales son distintos. Al igualar se obtiene 1 = 4, una contradicción. No existe un x que la haga verdadera: las rectas son paralelas y no comparten ningún punto.
La misma recta: infinitas soluciones
x + y = 3 y 2x + 2y = 6 describen la misma recta: la segunda ecuación es el doble de la primera. Al eliminar aparece 0 = 0, una identidad. Las soluciones son todos los pares (t, 3 − t), con t real; no todos los pares del plano.
Una eliminación con contradicción
Compara 2x + y = 5 y 4x + 2y = 12. Duplica la primera y obtén 4x + 2y = 10. Al restarla de la segunda queda 0 = 2. Los coeficientes son proporcionales, pero el término independiente no sigue la misma proporción: no hay solución.
Rectas verticales y un criterio general
Las ecuaciones x = 2 y x = 5 son paralelas verticales distintas, aunque no tengan pendiente finita. Para dos ecuaciones Ax + By = C, compara ecuaciones completas. Si el determinante A₁B₂ − A₂B₁ es no nulo, hay una solución única. Si es cero, distingue coincidencia de contradicción.
Comprobar la clasificación
Para una solución única, sustituye el par en ambas ecuaciones. Para infinitas, expresa la familia y verifica ambas identidades. Para ninguna, conserva la contradicción como evidencia. Este análisis se refiere a ecuaciones lineales no degeneradas que representan rectas; una ecuación como 0x + 0y = 0 necesita interpretación aparte.