Matemáticas · 9.º
¿Cómo reconocer un sistema sin solución o con infinitas soluciones?
Un sistema de dos ecuaciones lineales puede tener una solución, ninguna o infinitas. En el plano corresponden a rectas que se cruzan, paralelas distintas o…
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Una solución debe cumplir ambas ecuaciones
La solución debe cumplir las dos ecuaciones al mismo tiempo. Dos rectas que se cruzan tienen un punto común. En este ejemplo, el par uno, dos satisface ambas relaciones y es la única solución.
Paralelas distintas: ninguna solución
Dos rectas con la misma pendiente y distinto corte vertical son paralelas distintas. Al intentar igualarlas aparece uno igual a cuatro. Esa contradicción indica ausencia de solución, no un error inevitable del método.
La misma recta: infinitas soluciones
Multiplicar toda una ecuación por dos no cambia su recta. Si ambas ecuaciones describen la misma, aparecen infinitos puntos comunes. La identidad cero igual a cero no significa que cualquier par del plano sirva.
Una eliminación con contradicción
Duplicar la primera ecuación produce un término independiente diez. La segunda tiene doce. Al restar queda cero igual a dos. Los términos variables se cancelan, pero la contradicción demuestra que no hay solución.
Rectas verticales y un criterio general
El criterio de pendiente necesita tratar aparte las rectas verticales. Comparar coeficientes o eliminar variables funciona también allí. Un determinante no nulo indica solución única; si es cero, revisa los términos independientes.
Comprobar la clasificación
La clasificación debe quedar respaldada por sustitución, una familia de soluciones o una contradicción. Aquí tratamos ecuaciones que representan rectas. Una ecuación sin términos variables requiere revisar su significado antes de usar el dibujo.