Matemáticas · 8.º · Reales: racionales e irracionales
¿Cómo saber si un número es racional o irracional?
¿Cómo saber si un número es racional o irracional?
Un número racional puede escribirse como cociente de dos enteros con denominador no nulo. Un irracional es real y no admite esa representación; su desarrollo decimal es infinito y no periódico.
La definición usa una fracción exacta
Un racional tiene forma a/b, con a y b enteros y b ≠ 0. Incluye 3/4, −5 y 0, pues −5 = −5/1 y 0 = 0/1. Un número no deja de ser racional por aparecer como entero o decimal en vez de fracción.
Decimales finitos y periódicos
0,125 = 125/1000 = 1/8 es racional. 0,333… con repetición del tres también lo es: vale 1/3. En la división de enteros hay un número finito de restos posibles; o se llega a cero o se repite un resto. Así se explica que el decimal racional termine o sea periódico.
Un decimal infinito puede ser racional
La palabra «infinito» no basta para identificar un irracional. 1/7 = 0,142857142857… repite un bloque y es racional. En cambio √2 y π son irracionales: no tienen desarrollo decimal finito ni un bloque que se repita indefinidamente a partir de alguna posición.
Por qué raíz de dos no es una fracción
Supón √2 = a/b en una fracción irreducible de enteros positivos. Entonces a² = 2b², así que a es par. Escribe a = 2k: resulta b² = 2k² y b también es par. Ambos tendrían factor dos, contradiciendo que la fracción era irreducible. Por tanto √2 es irracional.
Una raíz no implica irracionalidad
√9 = 3 es racional; √(1/4) = 1/2 también. La raíz cuadrada de un entero positivo que no es cuadrado perfecto es irracional. Antes de clasificar una expresión, simplifícala. Por ejemplo, √8/√2 = √4 = 2, aunque los radicales separados sean irracionales.
La calculadora muestra una aproximación
1,41421356 es un decimal finito y, como número exacto, racional. Puede aproximar √2, pero no es igual a él. Ver pocos dígitos no demuestra si el valor original es periódico. Usa una representación exacta o una demostración; escribe √2 ≈ 1,41421356 cuando aproximas.