Matemáticas · 9.º · Exponentes y radicales pro
¿Cómo sumar y restar raíces cuadradas?
¿Cómo sumar y restar raíces cuadradas?
Para sumar o restar raíces, primero simplifícalas extrayendo cuadrados perfectos. Solo se combinan los coeficientes de radicales semejantes; en general, √a + √b no es √(a + b).
Una raíz no reparte una suma
√9 + √16 = 3 + 4 = 7, pero √(9 + 16) = √25 = 5. Este contraejemplo demuestra que sumar radicandos cambia el valor. El signo de raíz indica una operación sobre cada cantidad completa; no puede trasladarse a una suma sin justificación.
Extraer cuadrados perfectos
Para simplificar √12, escribe 12 = 4 × 3. Como los factores son no negativos, √(4 × 3) = √4 · √3 = 2√3. También √27 = 3√3. Busca un factor cuadrado perfecto; esta propiedad del producto no autoriza separar una suma.
Combinar radicales semejantes
Ahora √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3. Se suman los coeficientes porque la parte radical es idéntica. Es la misma estructura de 2x + 3x = 5x. En 7√2 − 4√2 queda 3√2; el radicando no cambia.
Una resta puede simplificarse
√50 − √8 = 5√2 − 2√2 = 3√2. En cambio, √2 + √3 no tiene radicales semejantes y se conserva así como valor exacto. Una aproximación decimal puede servir para medir, pero no transforma la expresión exacta en una raíz de cinco.
Revisar coeficientes y restricciones
3√18 + √8 = 3(3√2) + 2√2 = 11√2. No olvides el coeficiente exterior al simplificar. Con variables reales, √(x²) = |x|, no siempre x: si x = −2, la raíz principal es dos. Las raíces cuadradas principales son no negativas.
Comprobar sin perder la forma exacta
√12 ≈ 3,464 y √27 ≈ 5,196; la suma se aproxima a 8,660. También 5√3 ≈ 8,660. Esta comprobación ayuda a detectar errores, pero la justificación exacta es la extracción de cuadrados y la suma de coeficientes. Evita redondear cada término demasiado pronto.