Matemáticas · 9.º · Ecuaciones cuadráticas
¿Cómo usar la fórmula general de una ecuación cuadrática?
¿Cómo usar la fórmula general de una ecuación cuadrática?
Para ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0, la fórmula general es x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a). Ordena la ecuación, identifica los coeficientes con sus signos y calcula ambas posibilidades.
Llevar todo a un lado
La fórmula exige ax² + bx + c = 0. En 2x² + 3x = 2, resta dos: 2x² + 3x − 2 = 0. Así a = 2, b = 3 y c = −2. Los signos pertenecen a los coeficientes; a debe ser no nulo para que la ecuación sea cuadrática.
La fórmula nace de completar un cuadrado
La derivación algebraica parte de una ecuación polinómica de segundo grado con coeficiente principal no nulo. Dividir por a y completar el cuadrado produce (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). Resolver esta igualdad y despejar x conduce a la fórmula general. El símbolo ± representa las dos posibilidades asociadas al cuadrado, que pueden coincidir según el discriminante; no permite seleccionar arbitrariamente una sola raíz.
Calcular primero el discriminante
Para 2x² + 3x − 2 = 0, calcula D = b² − 4ac = 9 − 4(2)(−2) = 25. El producto 4ac es negativo y se resta, por eso se suma dieciséis. Ahora √D = 5. Escribe los factores entre paréntesis para controlar los signos.
Separar las dos raíces
x = (−3 ± 5)/4 significa calcular x₁ = (−3 + 5)/4 = 1/2 y x₂ = (−3 − 5)/4 = −2. El denominador divide todo el numerador. Escribir −3 + 5/4 daría otra operación: usa una barra de fracción clara o paréntesis completos.
Comprobar en la ecuación original
Para x = 1/2, 2(1/2)² + 3(1/2) = 1/2 + 3/2 = 2. Para x = −2, 2(−2)² + 3(−2) = 8 − 6 = 2. Ambas cumplen la ecuación original. La comprobación también revela coeficientes mal copiados o una raíz perdida.
Qué hacer según el discriminante
Si D > 0, hay dos raíces reales distintas. Si D = 0, coinciden en −b/(2a). Si D < 0, no hay raíces reales; en números complejos sí existen dos. Cuando factorizar es sencillo, puede ser más rápido, pero la fórmula sirve para cualquier cuadrática con a ≠ 0.