Matemáticas · 11.º · Exponenciales y logaritmos
¿Cuál es la diferencia entre crecimiento lineal y exponencial?
¿Cuál es la diferencia entre crecimiento lineal y exponencial?
El crecimiento lineal añade la misma cantidad en intervalos iguales; el exponencial multiplica por el mismo factor. Sus modelos básicos son f(t) = f₀ + rt y g(t) = g₀qᵗ, con condiciones de tiempo y escala declaradas.
Comparar incrementos y factores
Las cantidades 10, 15, 20, 25 aumentan cinco cada período: modelo lineal. Las cantidades 10, 20, 40, 80 se duplican: modelo exponencial. Para distinguirlos, compara diferencias y cocientes entre observaciones en intervalos iguales. Un incremento porcentual constante implica un factor constante, no una cantidad constante.
Escribir modelos desde un valor inicial
Si t = 0 corresponde a diez, un incremento de cinco por período da f(t) = 10 + 5t. Duplicarse cada período da g(t) = 10 · 2ᵗ. En t = 3, producen veinticinco y ochenta. El origen temporal debe coincidir con el valor inicial declarado.
Un porcentaje se convierte en multiplicador
Aumentar 10 % por período significa multiplicar por 1,10. Desde cien, el modelo es 100(1,10)ᵗ: cien, ciento diez, ciento veintiuno. Sumar diez cada vez sería lineal y produce ciento veinte en el segundo período. La base del porcentaje cambia con la cantidad acumulada.
También existe decrecimiento exponencial
Con g₀ > 0 y 0 < q < 1, g₀qᵗ disminuye. Si cada período permanece el 80 %, q = 0,8. La cantidad se reduce, pero no restando siempre el mismo número. q = 1 produce un valor constante; para crecimiento exponencial positivo exige q > 1.
Una gráfica depende de su escala
En ejes ordinarios, el modelo lineal dibuja una recta y el exponencial una curva. Para g(t) positiva, log g(t) = log g₀ + t log q: una escala logarítmica puede hacerlo aparecer recto. Lee etiquetas y escalas antes de clasificar una tendencia por su aspecto.
Una fórmula no promete crecimiento ilimitado real
En contextos reales, recursos, capacidad y cambios de condiciones limitan la validez de un modelo. Unas pocas observaciones no garantizan extrapolaciones lejanas. Declara período, unidades y supuestos; compara predicciones con datos posteriores. La matemática del modelo puede ser exacta aunque su adecuación al contexto sea temporal.