Matemáticas · 10.º · Probabilidad condicional
¿Cuándo dos sucesos son independientes o dependientes?
¿Cuándo dos sucesos son independientes o dependientes?
Dos sucesos son independientes si conocer uno no cambia la probabilidad del otro. Equivalentemente, P(A ∩ B) = P(A)P(B). Ser incompatibles, es decir no poder ocurrir juntos, es una condición diferente.
Comparar antes y después de saber algo
Si P(A) > 0, A y B son independientes cuando P(B | A) = P(B). La condición A no aporta información que cambie la probabilidad de B. Por ejemplo, en dos lanzamientos independientes de una moneda equilibrada, saber el resultado del primero no cambia la probabilidad de cara en el segundo.
El criterio del producto
El criterio general es P(A ∩ B) = P(A)P(B). No requiere dividir por P(A), así que también cubre sucesos de probabilidad cero. En dos lanzamientos equilibrados independientes, la probabilidad de dos caras es (1/2)(1/2) = 1/4.
Extracción con reemplazo
Una bolsa tiene dos fichas rojas y tres azules. Extrae una al azar, devuélvela y mezcla antes de extraer otra. La proporción roja vuelve a ser 2/5. Bajo ese procedimiento aleatorio, las dos extracciones son independientes y P(dos rojas) = (2/5)² = 4/25.
Sin reemplazo puede haber dependencia
Si no devuelves la primera ficha y salió roja, quedan una roja y tres azules: P(roja segunda | roja primera) = 1/4, diferente de 2/5. Por eso los colores son dependientes. La probabilidad de dos rojas es (2/5)(1/4) = 1/10, usando una probabilidad condicional.
Incompatibles no significa independientes
En un solo lanzamiento de dado, A = sacar uno y B = sacar dos son incompatibles: su intersección es vacía. Como P(A)P(B) = 1/36 y P(A ∩ B) = 0, no son independientes. Si sabes que salió uno, la probabilidad de que ese mismo lanzamiento sea dos pasa a cero.
No inferir independencia solo por intuición
Dos sucesos de nombres distintos pueden ser dependientes. Verifica el mecanismo o el criterio con datos. En muestras pequeñas, frecuencias aproximadas no prueban igualdad exacta de probabilidades. Para tres o más sucesos, independencia por parejas tampoco garantiza independencia conjunta; la afirmación debe indicar qué relación se está comprobando.