Matemáticas · 8.º · Reales: racionales e irracionales
¿Por qué 0,999 periódico es exactamente uno?
¿Por qué 0,999 periódico es exactamente uno?
0,999… con nueves infinitos es exactamente igual a uno. Cada aproximación finita es menor, pero el decimal infinito representa su límite; no existe un último nueve ni una diferencia positiva restante.
Decimal finito y decimal infinito
0,9, 0,99 y 0,999 son menores que uno. Sus diferencias son 0,1, 0,01 y 0,001. En cambio, 0,999… denota el decimal con todos los nueves, no una cadena que acaba en algún momento. Por definición representa el límite de esas aproximaciones finitas.
La diferencia tiende a cero
Con n nueves, la aproximación vale 1 − 10⁻ⁿ. Su distancia a uno es 10⁻ⁿ, que tiende a cero al aumentar n. Por tanto el límite es uno. No queda una diferencia «infinitamente pequeña» positiva dentro de los números reales: cualquier diferencia positiva se supera eligiendo suficientes cifras.
El método algebraico
Sea x = 0,999… Entonces 10x = 9,999… Restando los dos números reales, las colas iguales se cancelan: 9x = 9. Así x = 1. Estas operaciones se justifican interpretando el decimal infinito como un número real, no como una tarea de escritura pendiente.
Comprobar con una fracción conocida
1/3 = 0,333… Multiplica por tres: 3 × (1/3) = 1 y 3 × 0,333… = 0,999… La misma cantidad tiene dos escrituras decimales. También 0,5 = 0,4999… En los extremos con decimal finito puede existir esta representación alternativa periódica.
No existe el último nueve
Escribir «falta 0,000…1» no define una diferencia decimal real: no hay una posición final después de infinitas cifras donde colocar ese uno. La confusión mezcla una aproximación finita con el número representado por el límite. Igualdad exacta no significa redondeo a uno.
Usar con precisión la notación
0,999 < 1, pero 0,999… = 1 cuando los puntos indican repetición indefinida del nueve. Si solo desconoces las cifras siguientes de una medición, los puntos no garantizan ese período. Declara que el nueve se repite infinitamente antes de aplicar esta conclusión.