Matemáticas · 8.º · Reales: racionales e irracionales
¿Por qué hay infinitos números entre dos números distintos?
¿Por qué hay infinitos números entre dos números distintos?
Entre dos números reales distintos hay infinitos números reales, y también infinitos racionales. El promedio de dos de ellos da un primer número intermedio; puedes repetir la construcción.
No todos los conjuntos tienen la misma estructura
Entre los enteros uno y dos no hay otro entero. Sin embargo, hay números reales como 1,1, 1,5 y 1,9. Los racionales incluyen cocientes de enteros y también se distribuyen densamente sobre la recta. La respuesta depende del conjunto permitido.
Construir un punto intermedio
Si a < b, su promedio m = (a + b)/2 cumple a < m < b. Para 1,2 y 1,3, m = 1,25. La diferencia m − a y b − m es la mitad de b − a, así que ambas son positivas. La construcción no depende de que la separación sea grande.
Repetir produce infinitos valores
Entre 1,2 y 1,25 puedes colocar 1,225. Después, entre 1,2 y 1,225, aparece 1,2125. Repetir siempre permite otro número distinto. No existe un «siguiente real» inmediato después de 1,2: cualquier candidato mayor deja espacio para otro promedio.
Racionales entre extremos racionales
Si a y b son racionales, su promedio también lo es. Por ejemplo, entre 1/3 y 1/2 aparece 5/12, y al repetir obtienes infinitos racionales. Entre cualesquiera extremos reales distintos también hay racionales: puedes elegir una cuadrícula decimal suficientemente fina para que tenga puntos dentro del intervalo.
Una precisión fija sí limita la lista
Si solo admites dos decimales, entre 1,20 y 1,30 tienes 1,21 hasta 1,29: nueve valores. Esa lista finita describe una precisión impuesta, no todos los reales. 1,205 también está dentro del intervalo, pero usa tres posiciones decimales.
Densidad no significa que sean el mismo conjunto
Los racionales no incluyen todos los reales: √2 es irracional. Entre dos reales distintos también existen infinitos irracionales. Una forma de encontrarlos es tomar un racional interior y sumarle una cantidad irracional suficientemente pequeña. Densidad describe presencia en cada intervalo; no igualdad entre conjuntos.