Matemáticas · 8.º · Reales: racionales e irracionales
¿Por qué la raíz cuadrada de un número negativo no es real?
¿Por qué la raíz cuadrada de un número negativo no es real?
Ningún número real tiene un cuadrado negativo: el cuadrado de un positivo o un negativo es no negativo. Por eso √(−9) no es un número real.
Revisar los cuadrados de ambos signos
3² = 9 y (−3)² = 9. En el segundo caso multiplicas dos negativos, que producen un positivo. También 0² = 0. Por tanto, x² ≥ 0 para todo número real x. No existe un número real cuyo cuadrado sea −9.
La recta real no tiene ese candidato
La raíz cuadrada busca un número que, multiplicado por sí mismo, produzca el radicando. Para √(−9), cualquier candidato real falla: si es positivo o negativo, su cuadrado es positivo; si es cero, su cuadrado es cero. No falta encontrar un decimal más preciso: el resultado está fuera de los reales.
El alcance del signo negativo
√(−9) y −√9 son expresiones distintas. La primera no es real. La segunda toma primero √9 = 3 y después su opuesto: −√9 = −3. En (−3)² el negativo está dentro de la base, mientras que −3² significa −(3²) = −9.
Raíz principal y soluciones
√9 = 3 elige la raíz principal no negativa. La ecuación x² = 9 tiene soluciones 3 y −3. La ecuación x² = −9 no tiene soluciones reales. Esa distinción evita concluir que una raíz de un negativo se obtiene eligiendo una solución negativa.
Una extensión llamada números complejos
En un conjunto más amplio se introduce i, definido por i² = −1. Entonces (3i)² = −9 y también (−3i)² = −9. Los números complejos permiten resolver ecuaciones que no tienen solución real. No se ubican como un número más sobre la recta real; se representan con dos componentes.
Comprueba el dominio antes de calcular
Si una fórmula real contiene √(x − 4), su radicando exige x − 4 ≥ 0, así que x ≥ 4. Para x = 6 existe √2; para x = 1 aparecería √(−3), fuera del dominio real. Revisar esa condición es parte de evaluar la expresión correctamente.