Matemáticas · 7.º · Enteros: dominio total
¿Por qué menos por menos es más?
¿Por qué menos por menos es más?
El producto de dos números negativos es positivo porque la multiplicación conserva la propiedad distributiva. Así, el opuesto de un producto negativo debe ser positivo.
Una regla que conserva las operaciones
La regla de los signos se refiere a multiplicar o dividir. No se usa del mismo modo al sumar. Por ejemplo, (−3) × (−2) = 6, pero (−3) + (−2) = −5. Para justificar el producto vamos a conservar una propiedad conocida: multiplicar una suma equivale a multiplicar cada sumando y sumar los productos.
El patrón en una tabla
Fija el primer factor en −3. Los productos con 2, 1 y 0 son −6, −3 y 0. Cada vez que el segundo factor disminuye una unidad, el producto aumenta tres unidades. Al continuar el mismo patrón: (−3) × (−1) = 3 y (−3) × (−2) = 6. La tabla muestra la coherencia de la regla; ahora probaremos por qué funciona.
La demostración con distributividad
Dos y su opuesto suman cero: 2 + (−2) = 0. Multiplica por −3:
(−3) × [2 + (−2)] = (−3) × 0 = 0.
Distribuyendo, queda −6 + (−3) × (−2) = 0. Para que esa suma sea cero, el producto que falta tiene que ser 6. Por eso (−3) × (−2) = 6. Darle valor −6 rompería la igualdad: −6 + (−6) = −12.
El cambio de sentido en la recta
Multiplicar un número por −1 da su opuesto: 4 pasa a −4 y −4 pasa a 4. En la recta, los puntos quedan a igual distancia del cero, en lados contrarios. En (−3) × (−2), primero puedes calcular 3 × (−2) = −6; el signo menos delante del 3 indica tomar el opuesto de −6. Obtienes 6. La imagen de reflexión representa ese cambio de sentido.
Lo que cambia al sumar
En −4 + (−2), ambos desplazamientos van hacia la izquierda: el resultado es −6. En (−4) × (−2), el resultado es 8 por la regla que acabamos de justificar. Primero identifica la operación; después decide cómo intervienen los signos. Con cero, cualquier producto es cero, aunque el otro factor sea negativo.
Comprobar en un caso nuevo
Para justificar (−5) × (−4), usa 4 + (−4) = 0. La distributividad exige −20 + (−5) × (−4) = 0, así que el producto es 20. Comprueba la regla con este razonamiento antes de memorizarla. En una división de signos iguales el cociente es positivo, siempre que el divisor sea distinto de cero, porque debe reconstruir el dividendo al multiplicar.