Matemáticas · 10.º · Identidades y ecuaciones trig
¿Por qué seno al cuadrado más coseno al cuadrado es uno?
¿Por qué seno al cuadrado más coseno al cuadrado es uno?
En el círculo unitario, el punto de un ángulo θ tiene coordenadas (cos θ, sen θ). Como está a distancia uno del origen, Pitágoras da cos² θ + sen² θ = 1 para todo ángulo real.
Una circunferencia de radio uno
En el círculo unitario, la parametrización angular asigna al punto las coordenadas (cos θ, sen θ). Su distancia al origen es uno independientemente del cuadrante. Esta definición extiende seno y coseno desde las razones de triángulos rectángulos hasta todos los ángulos reales y permite justificar identidades mediante propiedades geométricas. La periodicidad identifica posiciones equivalentes para ángulos separados por vueltas completas, sin modificar la relación entre sus coordenadas.
Aplicar Pitágoras a las coordenadas
La distancia del punto (x, y) al origen cumple x² + y² = 1². Sustituyendo x = cos θ e y = sen θ, obtienes cos² θ + sen² θ = 1. Aunque una coordenada sea negativa, su cuadrado es no negativo; por eso el argumento sigue válido en todos los cuadrantes.
El cuadrado afecta al valor de la función
sen² θ significa (sen θ)², no sen(θ²) ni sen(2θ). Para θ = 30°, sen² θ = (1/2)² = 1/4 y cos² θ = (√3/2)² = 3/4. La suma da uno; sen 60° es √3/2 y representa otra operación.
Una identidad no dice seno más coseno igual a uno
Para θ = 45°, sen θ = cos θ = √2/2. Sus cuadrados suman uno, pero sus valores suman √2. No quites los exponentes de la identidad. Tampoco significa que cada cuadrado valga un medio para cualquier ángulo: eso ocurre solo en ciertos casos.
Recuperar un valor con su signo
Si sen θ = 3/5, entonces cos² θ = 1 − 9/25 = 16/25. Así cos θ = ±4/5. Para elegir el signo necesitas el cuadrante: en el primero es positivo y en el segundo negativo. La raíz principal no decide por sí sola el signo de la coordenada original.
Otra identidad con restricciones
Dividir por cos² θ produce tan² θ + 1 = 1/cos² θ, pero solo cuando cos θ ≠ 0. La identidad inicial no necesita esa restricción. Al transformar identidades, registra los denominadores que introduces para evitar afirmar igualdad donde alguna expresión no está definida.