Matemáticas · 10.º
¿Por qué seno al cuadrado más coseno al cuadrado es uno?
En el círculo unitario, el punto de un ángulo θ tiene coordenadas (cos θ, sen θ). Como está a distancia uno del origen, Pitágoras da cos² θ + sen² θ = 1 para todo…
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Una circunferencia de radio uno
En una circunferencia de radio uno, coseno y seno son las coordenadas horizontal y vertical del punto del ángulo. Esta definición amplía las razones de triángulos rectángulos a cualquier ángulo real.
Aplicar Pitágoras a las coordenadas
Pitágoras relaciona los cuadrados de las coordenadas con el radio al cuadrado. Como el radio es uno, la suma vale uno. Los cuadrados permiten usar la misma igualdad incluso con coordenadas negativas.
El cuadrado afecta al valor de la función
Seno al cuadrado de un ángulo significa elevar al cuadrado el valor del seno. No duplica el ángulo. A treinta grados, los cuadrados son un cuarto y tres cuartos y suman uno.
Una identidad no dice seno más coseno igual a uno
A cuarenta y cinco grados, seno más coseno vale raíz de dos. Son sus cuadrados los que suman uno. La identidad no permite borrar exponentes ni suponer que cada término siempre vale un medio.
Recuperar un valor con su signo
Con seno tres quintos, el cuadrado del coseno vale dieciséis veinticincoavos. El coseno puede ser más o menos cuatro quintos. El cuadrante decide el signo; conocer el cuadrado no lo determina.
Otra identidad con restricciones
Transformar una identidad puede modificar su dominio. Dividir por coseno al cuadrado exige coseno no nulo. La identidad pitagórica original permanece válida para todos los ángulos reales, pero la expresión obtenida mediante división no incluye los valores que anulan el denominador.