Matemáticas · 8.º · Leyes de los exponentes
¿Por qué un número elevado a cero es uno?
¿Por qué un número elevado a cero es uno?
Para toda base distinta de cero, a⁰ = 1: el cociente aⁿ/aⁿ vale uno y también aⁿ⁻ⁿ. La condición a ≠ 0 es indispensable.
Una ampliación coherente de las potencias
Con exponentes naturales positivos, a³ significa a × a × a. Cuando aparece exponente cero, ya no basta con contar factores del mismo modo. Definimos esa potencia de forma que conserve las leyes conocidas, siempre que la base sea distinta de cero. El resultado será uno, el elemento neutro de la multiplicación.
Bajar un escalón en una tabla
Para base tres: 3³ = 27, 3² = 9 y 3¹ = 3. Al bajar una unidad en el exponente, divides entre tres. El siguiente valor es 3 ÷ 3 = 1, así que 3⁰ = 1. Con base −2, la tabla es −8, 4, −2, 1: cada escalón divide entre −2. El patrón funciona con bases negativas no nulas.
La demostración mediante un cociente
Si a ≠ 0, aⁿ tampoco es cero. Por tanto aⁿ/aⁿ = 1. La ley del cociente de potencias de la misma base da aⁿ/aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰. Las dos expresiones representan el mismo cociente, por lo que a⁰ = 1. Por ejemplo, 5³/5³ = 125/125 = 1 = 5⁰.
Por qué cero como base requiere cuidado
La prueba no puede aplicarse a 0⁰: introduciría el cociente 0ⁿ/0ⁿ = 0/0, que no está definido. En esta lección no asignamos un valor a 0⁰. En combinatoria y algunos lenguajes de programación se adopta 0⁰ = 1 como convención útil; en límites, una forma 0⁰ requiere analizar las funciones. Una convención de otro contexto no elimina la condición de esta demostración.
No confundir exponente con multiplicación
7⁰ no significa 7 × 0. La primera expresión es una potencia y vale uno; la segunda es un producto y vale cero. También importa la agrupación: (−4)⁰ = 1, pero −4⁰ = −(4⁰) = −1 bajo la prioridad habitual. Los paréntesis identifican qué expresión constituye la base.
Una comprobación en otra expresión
En 6⁰ + 2⁰ + (−3)⁰ hay tres bases no nulas. Cada potencia vale uno, así que la suma es 3. En cambio, 6⁰ × 2⁰ vale uno. Identificar la operación que une las potencias evita confundir las propiedades de exponentes con las reglas de suma.