Matemáticas · 11.º · Exponenciales y logaritmos
¿Qué es un logaritmo y cómo se calcula?
¿Qué es un logaritmo y cómo se calcula?
Un logaritmo responde qué exponente necesita una base para producir un número: log_b(a) = c equivale a bᶜ = a. En los reales, la base es positiva y distinta de uno, y el argumento es positivo.
Preguntar por el exponente
Como 2³ = 8, log₂(8) = 3. El resultado no es una multiplicación ni una división entre base y argumento: es el exponente desconocido. La función exponencial y el logaritmo de la misma base se deshacen mutuamente dentro de sus dominios.
Por qué se restringe la base
Para una base b > 0, b ≠ 1, la exponencial real es estrictamente monótona y produce valores positivos. Cada argumento positivo tiene un exponente único. Con base uno, todas las potencias valen uno y no hay inversa. Una base negativa no define la misma exponencial real para todos los exponentes.
Cero y negativos como resultados
log₅(1) = 0 porque 5⁰ = 1. log₂(1/8) = −3 porque 2⁻³ = 1/8. El logaritmo puede ser negativo; lo que debe ser positivo es su argumento. log₂(0) y log₂(−8) no están definidos en los reales.
Propiedades que nacen de las potencias
Si u = bᵐ y v = bⁿ, entonces uv = bᵐ⁺ⁿ. Así log_b(uv) = log_b(u) + log_b(v) para u, v positivos. Del cociente surge la resta y de una potencia, el factor del exponente. No hay una propiedad equivalente que separe log_b(u + v) como suma de logaritmos.
Calcular con cambio de base
Si la calculadora tiene logaritmo decimal o natural, usa log_b(a) = ln(a)/ln(b). Por ejemplo log₂(10) ≈ 3,3219. Comprueba que 2³ < 10 < 2⁴: el exponente debe estar entre tres y cuatro. Conserva el mismo tipo de logaritmo en numerador y denominador.
Resolver una ecuación exponencial
En 3ˣ = 20, la inversa exponencial determina x = log₃(20) = ln(20)/ln(3) ≈ 2,7268. La representación logarítmica es exacta y la expansión decimal indicada es aproximada. Al resolver ecuaciones logarítmicas, conserva las restricciones originales de positividad del argumento: las transformaciones algebraicas pueden generar candidatos inadmisibles. La sustitución final verifica la ecuación y el dominio, mientras que la monotonía de la exponencial justifica la unicidad de esta solución real.