Matemáticas · 10.º · Funciones: el catálogo
¿Qué es una asíntota y una gráfica puede cruzarla?
¿Qué es una asíntota y una gráfica puede cruzarla?
Una asíntota describe un comportamiento límite de la gráfica. Las horizontales y oblicuas pueden cruzarse en puntos finitos; un hueco es una discontinuidad removible y se diferencia de una asíntota vertical.
Asíntota vertical: crecimiento sin cota
La recta x = a es una asíntota vertical si la función tiende a infinito o menos infinito al acercarse por al menos un lado. Para f(x) = 1/(x − 2), x = 2 es vertical. No basta que el denominador escrito sea cero: simplifica y analiza el límite.
Asíntota horizontal: comportamiento lejano
y = L es horizontal si f(x) tiende a L cuando x → ∞ o x → −∞. Para f(x) = 1/x, y = 0 es horizontal. Los dos extremos pueden tener límites diferentes. Esta definición estudia entradas muy grandes, no prohíbe que f alcance L en una entrada finita.
Sí se puede cruzar una horizontal
g(x) = x/(x² + 1) tiende a cero hacia ambos extremos, así que tiene asíntota horizontal y = 0. Además g(0) = 0 y cambia de signo alrededor de cero: cruza su asíntota horizontal. Este ejemplo refuta la frase «una gráfica nunca toca ninguna asíntota».
Asíntota oblicua y diferencia que tiende a cero
Una recta y = mx + b, con m ≠ 0, es oblicua si f(x) − (mx + b) → 0 hacia un extremo infinito. Para f(x) = x + 1/x, esa diferencia es 1/x y la asíntota es y = x. También puede haber cruces con una oblicua en otras funciones.
Un hueco no es una vertical
h(x) = (x² − 1)/(x − 1) equivale a x + 1 para x ≠ 1. Al acercarse a uno, el límite es dos, finito. Su gráfica tiene un hueco en (1, 2), no una asíntota vertical allí. La cancelación conserva la exclusión de uno en el dominio original.
El valor en un punto no decide el límite
Incluso definir f(a) de manera aislada no elimina una asíntota vertical si los valores próximos divergen. En funciones racionales usuales, la entrada vertical queda excluida; no generalices esa característica a toda función definida por partes. Clasifica mediante límites y distingue comportamiento cercano, valor puntual y comportamiento en infinito.