Matemáticas · 10.º
¿Qué es una asíntota y una gráfica puede cruzarla?
Una asíntota describe un comportamiento límite de la gráfica. Las horizontales y oblicuas pueden cruzarse en puntos finitos; un hueco es una discontinuidad removible…
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Asíntota vertical: crecimiento sin cota
Una asíntota vertical exige comportamiento sin cota al acercarse por algún lado. Uno dividido entre la expresión equis menos dos tiene una asíntota vertical cuando equis es igual a dos. Un denominador nulo por sí solo no prueba ese comportamiento.
Asíntota horizontal: comportamiento lejano
La asíntota horizontal describe el límite hacia un extremo infinito del dominio. No impone que el valor sea imposible en puntos finitos. Una función puede tener comportamientos distintos hacia la derecha y hacia la izquierda.
Sí se puede cruzar una horizontal
Equis dividido entre equis al cuadrado más uno se acerca a cero hacia ambos extremos. También vale cero en el origen y cambia de signo allí. Por tanto cruza su asíntota horizontal sin contradecir la definición.
Asíntota oblicua y diferencia que tiende a cero
Para una asíntota oblicua, la diferencia entre la función y la recta tiende a cero. Equis más uno entre equis se aproxima a la recta ye igual a equis. La definición tampoco prohíbe cruces finitos con una oblicua.
Un hueco no es una vertical
Un factor cancelable puede dejar un hueco en vez de una asíntota vertical. En este cociente, el límite cercano a uno vale dos. No hay crecimiento infinito y la entrada uno sigue excluida en la función original.
El valor en un punto no decide el límite
Asignar un valor aislado en un punto no cambia los límites próximos. Una función definida por partes puede tener ese valor y conservar una asíntota vertical. Usa límites para distinguirla de un hueco y del comportamiento lejano.