Matemáticas · 11.º · La derivada: el velocímetro
¿Qué es una derivada y para qué sirve?
¿Qué es una derivada y para qué sirve?
La derivada mide una tasa de cambio instantánea y la pendiente de la tangente. Se define como el límite del cociente [f(a + h) − f(a)]/h cuando h tiende a cero, si ese límite existe.
De una tasa media a una instantánea
La derivada caracteriza la variación local de una función mediante un límite de cocientes incrementales. Para h ≠ 0, [f(a + h) − f(a)]/h describe la tasa media y la pendiente de una secante. Si estos cocientes convergen a un mismo valor finito al aproximarse h a cero por ambos lados, existe f'(a). Esta definición diferencia una aproximación instantánea de una evaluación puntual: sustituir h = 0 produciría una división indefinida y no constituye el procedimiento de derivación.
Derivar el cuadrado desde la definición
Para f(x) = x², f(a + h) − f(a) = 2ah + h². Dividir por h ≠ 0 produce 2a + h; su límite es 2a. Por tanto f'(x) = 2x. La expansión y la cancelación válida muestran de dónde sale la regla.
Pendiente de la tangente
Para f(x) = x² en a = 3, f(3) = 9 y f'(3) = 6. La aproximación lineal local es y − 9 = 6(x − 3), cuya pendiente corresponde a la derivada y cuya posición depende del punto de tangencia. Esta recta aproxima la función para incrementos suficientemente pequeños; no pretende describir exactamente su comportamiento global. La tangencia se establece mediante esa aproximación local y admite otras intersecciones con la curva fuera del entorno considerado.
Tasas con unidades
Si s(t) = t² metros para t en segundos, la velocidad es s'(t) = 2t metros por segundo. A t = 3 s, vale 6 m/s. Una derivada usa unidades de salida divididas por unidades de entrada. La tasa instantánea no tiene por qué coincidir con la tasa media de todo un recorrido.
Una esquina puede impedir la derivada
Para f(x) = |x| en cero, los cocientes de cambio son uno a la derecha y menos uno a la izquierda. No existe una derivada bilateral allí. La función sí es continua en cero: continuidad no garantiza derivabilidad. En el sentido usual, derivabilidad en un punto interior sí implica continuidad.
Usarla para analizar una función
El signo de la derivada ayuda a estudiar crecimiento y decrecimiento en intervalos. f'(a) = 0 identifica un punto estacionario, pero no garantiza máximo o mínimo: x³ tiene derivada cero en cero y sigue creciendo. Examina signos cercanos, condiciones del dominio y extremos del intervalo antes de concluir.