Matemáticas · 11.º
¿Qué es una derivada y para qué sirve?
La derivada mide una tasa de cambio instantánea y la pendiente de la tangente. Se define como el límite del cociente [f(a + h) − f(a)]/h cuando h tiende a cero, si…
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De una tasa media a una instantánea
El cociente de cambios calcula una tasa media y una pendiente secante. La derivada busca el límite al reducir el intervalo. No divide directamente entre cero; estudia cocientes con incrementos no nulos.
Derivar el cuadrado desde la definición
Expande el cuadrado de a más hache y resta a al cuadrado. Queda dos a hache más hache al cuadrado. Dividir entre hache no nulo deja dos a más hache. Su límite demuestra la derivada dos equis.
Pendiente de la tangente
En el punto tres, nueve del cuadrado, la derivada vale seis. Esa pendiente construye la recta tangente. Distingue el valor de la función de su tasa de cambio y no definas tangencia solo como tocar una vez.
Tasas con unidades
En un modelo cinemático, derivar posición respecto del tiempo produce velocidad instantánea. Si la posición es te al cuadrado metros, su derivada es dos te metros por segundo. La unidad corresponde a variación de posición dividida entre tiempo, y la interpretación instantánea se distingue de la velocidad media del intervalo.
Una esquina puede impedir la derivada
El valor absoluto tiene una esquina en cero. Las pendientes laterales son distintas y no hay derivada bilateral. La función es continua allí, lo que demuestra que continuidad por sí sola no garantiza derivabilidad.
Usarla para analizar una función
El signo de la derivada permite estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento. Un punto estacionario no garantiza un extremo: equis al cubo tiene derivada cero en el origen y continúa creciendo. Analiza el comportamiento local, las restricciones y los extremos del dominio antes de clasificarlo.