Matemáticas · 9.º · Ecuaciones cuadráticas
¿Qué indica el discriminante de una ecuación cuadrática?
¿Qué indica el discriminante de una ecuación cuadrática?
El discriminante D = b² − 4ac indica el número de raíces reales de una cuadrática: positivo, dos distintas; cero, una raíz doble; negativo, ninguna real. También describe cómo la parábola encuentra el eje horizontal.
Mirar la parte bajo la raíz
En la fórmula x = (−b ± √D)/(2a), D = b² − 4ac. Para coeficientes reales y a ≠ 0, la existencia de √D real depende de su signo. Esa es la razón del criterio: no hace falta resolver toda la ecuación para saber cuántas raíces reales distintas puede tener.
Discriminante positivo
En x² − 3x + 2 = 0, D = 9 − 8 = 1. Como √D es positivo, sumar o restar ese valor genera dos resultados distintos: uno y dos. La gráfica de y = x² − 3x + 2 cruza el eje x en dos puntos diferentes.
Discriminante cero y raíz doble
x² − 4x + 4 = (x − 2)² tiene D = 16 − 16 = 0. Ambas posibilidades de la fórmula producen x = 2. Hay una raíz real distinta, contada dos veces por su multiplicidad. La parábola toca el eje x en el vértice, sin atravesarlo allí.
Discriminante negativo
x² + 1 = 0 tiene D = −4. Ningún número real al cuadrado vale menos uno, por lo que no hay raíces reales. Su parábola está por encima del eje x. En números complejos aparecen i y −i: «ninguna real» no significa «ninguna en cualquier sistema numérico».
Comparar una familia de ecuaciones
Para x² − 4x + k = 0, D = 16 − 4k. Si k < 4, hay dos raíces reales; si k = 4, una doble; si k > 4, ninguna real. Esta clasificación permite estudiar toda una familia sin calcular primero cada par de raíces.
No aplicarlo a una ecuación lineal
El criterio supone a ≠ 0. Si a = 0, la ecuación pierde el término cuadrático y hay que analizarla como lineal o constante. Tampoco el valor D indica por sí solo que las raíces sean enteras: D = 2 positivo da dos reales distintas, pero su raíz es irracional.